Sistemas de inecuaciones Cuadráticas en dos variables

 INTRODUCCIÓN

Una inecuación con dos incógnitas, x e y, es una desigualdad que puede reducirse, por transposición de términos, a uno de estos tipos:

A(x,y) ³ 0 ó A(x,y) > 0

A(x,y) representa una expresión algebraica en las variables x e y (dicho de otro modo, una "función" de las dos variables x e y).

Diremos que el par de números (a,b) es una solución particular de la inecuación A(x,y) > 0, si al sustituir x por a, e y por b, se cumple la desigualdad o sea, si A(a,b)> 0. El conjunto de todas las soluciones de la inecuación se llama conjunto solución o solución general de la misma.

(Se tiene una definición análoga con la inecuación A(x,y) ³ 0).

Ejemplo:

Considera la inecuación 2x+y>5, y los pares de valores (a,b)=(-4,1) y (c,d)=(5,6).

(-4,1) no es solución de la inecuación, pues 2*(-4)+1=-7 no da un resultado mayor que 5.

(5,6) sí es solución de la inecuación, pues 2*5+6=16 es un resultado mayor que 5.

 

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Interpretación geométrica

Dada, por ejemplo, una inecuación del tipo A(x,y)>0, diremos que A(x,y)=0 es su ecuación asociada.

En general, si representamos gráficamente el conjunto de los puntos (x,y) del plano que cumplen A(x,y)=0 se obtiene una línea que divide al plano en dos regiones, una de ellas está formada por los puntos que cumplen A(x,y)>0 y la otra está formada por los puntos que cumplen A(x,y)<0.

Para distinguir a qué inecuación corresponde cada una de las dos regiones, tomaremos un punto de una de ellas y veremos cuál de las desigualdades A(x,y)>0, A(x,y)<0 cumple: Todos los demás puntos de esa región cumplirán la misma inecuación que el punto elegido.

En particular, la solución de una inecuación de primer grado con dos incógnitas, Ax+By>C, está formada por los puntos de un semiplano, cuyo borde es la recta de ecuación Ax+By=C, la recta estará incluida en la solución si la desigualdad no es estricta (es decir Ax+By ³ C).

 

Ejercicios

1.- Mueve el punto P y observa si verifica o no la inecuación.

2.- Cambia los valores a, b, y c .

3.- Repite el ejercicio 1.

Observa la siguiente escena donde la recta ax+by=c divide al plano en dos regiones; la formada por los puntos que cumplen ax+by>c y la otra formada por los puntos que cumplen ax+by<c.

La parte rayada es la solución de la inecuación ax+by>c.

4.- Modifica los puntos a, b y c y observa cómo cambian las regiones.

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más de estas inecuaciones.

El par (x,y) es solución si satisface simultáneamente todas las inecuaciones.

Ejercicios

5.- Modifica las inecuaciones por x + 2y >2 y x +2y< -2 . ¿Qué ocurre en ese caso?

En general, para resolver o encontrar la solución de un sistema de n inecuaciones se encontrarán los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones por separado y después se hará la intersección de dichos semiplanos. Dicha intersección puede ser vacía y se hablará entonces de sistema incompatible.

6.- Resuelve en tu cuaderno el siguiente sistema de inecuaciones:

x - 3y +2> 0

2x + y - 3 <0

x + 2y +4 >0

INECUACIONES CUADRÁTICAS CON DOS INCÓGNITAS

Son inecuaciones del tipo:

y> ax² +bx +c

y ³ ax² +bx +c

y < ax² +bx +c

y £ ax² +bx +c

Lo mismo que en las inecuaciones lineales cada inecuación tiene una curva asociada, que será y = ax² +bx +c que la representaremos gráficamente (obteniendo una parábola) y dicha curva nos divide al plano en dos regiones, una de las cuales será solución y la otra no. Para obtener la región solución se comprueba si un punto no perteneciente a la curva pertenece o no a la solución. Si pertenece es la región donde está incluido y si no, la otra.

La curva estará incluida en la solución si la desigualdad no es estricta (£ ó ³ ).

7.- Dada la inecuación y > x² - 2x - 6 comprueba moviendo el punto P, que la parte rayada es la solución y la otra no.

SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

En general para resolver un sistema de n inecuaciones se encontrarán las soluciones de cada inecuación (representando la curva asociada) y la solución del sistema será la intersección de las soluciones.

Veamos ahora tres ejemplos:

1º- Sistema formado por una inecuación lineal y otra cuadrática. 

2º- Sistema formado por dos inecuaciones cuadráticas. 

3º- Sistema formado por una inecuación lineal y otra inecuación cuya curva asociada es una circunferencia (si se modifican los valores m, n pasa a ser una elipse o una hipérbola)

8.- El sistema representado es:

ax + by +c > 0

mx² +ny² < 25

Modifica m ó n y observarás como se transforma la circunferencia en una elipse o en una hipérbola.

Si colocas el cursor en la zona común obtendrás puntos que pertenecen a la solución.

9.- Escribe tres puntos que sean solución, en caso de que exista, y otros tres que no lo sean.

10.- Se puede plantear otros tipos de ejercicios con funciones que, dependiendo del nivel , los alumnos conozcan.

FUENTE: http://recursostic.educacion.es/

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